Небесная механика

ГЕОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИРА. Пытаясь представить себе строение мира (Вселенной), объяснить видимые движения небесных светил и предвычислить их положение на небе, древнегреческие мыслители создавали геометрические модели, известные под названием геоцентрических систем мира (от греч. Гея — Земля, т. е. Земля в центре мира). В этих системах центром Вселенной считалась неподвижная Земля, а все небесные светила — обращающимися вокруг неё.
Такой взгляд на природу в те далёкие времена был вполне закономерен, так как непосредственно вытекал из наблюдений: никаких признаков вращения Земли не обнаруживалось, зато наблюдалось равномерное суточное вращение неба вместе со светилами вокруг Земли. Поэтому равномерное движение по окружностям считалось совершенным (идеальным) и приписывалось всем без исключения небесным светилам.
Суточное вращение звёзд объяснялось просто: считалось, что звёзды находятся на внутренней поверхности сферы, которая равномерно вращается вокруг Земли. Но чтобы объяснить перемещение Солнца, Луны и неравномерное петлеобразное передвижение планет по звёздному небу, не нарушая принципа совершенного движения по окружности, приходилось создавать сложные построения из большого числа геометрических сфер, различных по своим размерам.
Многовековые астрономические наблюдения подытожил во II в. выдающийся александрийский астроном Клавдий Птолемей. Будучи сторонником учения Аристотеля, он разработал математическую теорию движения Солнца, Луны и планет, позволявшую с большой по тому времени точностью предвычислять видимые положения этих светил на небе.
Упрощённая схема его геоцентрической системы мира представлена на рисунке а. В соответствии со скоростью перемещения светил Птолемей расположил их в следующей последовательности от Земли: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн. Далее расположена сфера неподвижных звёзд, ограничивающая Вселенную.
В системе Птолемея вращение небесной сферы вокруг Земли с востока на запад объясняет восход и заход светил. Помимо этого, Солнце и Луна равномерно движутся вокруг Земли в прямом направлении (с запада к востоку) по большим кругам — деферентам (от лат. деференс — несущий). Планеты также равномерно и в прямом направлении движутся по малым кругам — эпициклам (от греч. эпи — на и киклос — круг), а центры эпициклов равномерно движутся в прямом направлении по своим деферентам. Сочетание движения планет по эпициклам с движением эпициклов по деферентам объясняло видимое петлеобразное движение планет.
Знание параметров циклов и эпициклов, их угловых радиусов и скоростей перемещения по ним позволяло заранее рассчитать положение планеты в будущем.
Система мира Птолемея сыграла большую роль в науке, так как позволяла предвычислять видимое положение планет и побуждала астрономов совершенствовать наблюдения с целью уточнения теории движения планет.
Система мира Птолемея хорошо укладывалась в рамки религиозных христианских представлений о Вселенной, поэтому она поддерживалась церковью. Благодаря этому она продержалась в науке почти три тысячи лет.
Между тем потребности мореплавания требовали более точного предвычисления положения планет на много лет вперёд. В рамках геоцентрической системы мира Птолемея составление таких таблиц требовало включения новых эпициклов.
К середине XIII в. общее число эпициклов достигло 70 и настолько запутало вычисления видимых положений планет, что несостоятельность системы Птолемея стала очевидной.

ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИРА КОПЕРНИКА. В середине XVI в. Николай Коперник обнаружил, что суточное движение небесного свода очень просто объяснить вращением Земли вокруг своей оси. Он показал, что вся сложность системы Птолемея сразу исчезает, если основываться на следующих гипотезах:
1) планеты вращаются вокруг Солнца, а не вокруг Земли;
2) Земля есть одна из планет и, следовательно, также обращается вокруг Солнца.
Таким образом, по теории Коперника планеты действительно движутся по кругам без всяких остановок и поворотов; описываемые ими петли (эпициклы) возникают из-за того, что мы смотрим на них с движущейся Земли. Годичное движение Солнца по эклиптике объясняется годичным движением Земли вокруг Солнца. Земля никак не выделена и является одной из планет, занимая третье место от Солнца. Порядок расположения планет от Солнца такой: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Система Коперника с Солнцем в центре называется гелиоцентрической (от греч. гелиос — Солнце). Вокруг Земли движется только Луна. Рассмотрим видимое движение так называемой верхней планеты (например, Марса), т. е. планеты, находящейся дальше от Солнца, чем Земля. На рисунке б цифрами 1, 2, 3, 4, … обозначены положения Земли и Марса на своих орбитах и видимое положение планеты на небесной сфере в разные последовательные моменты времени. Земля и планета движутся в том же направлении, но движение планеты медленнее. В первый момент, когда Земля и планета расположены на своих орбитах в точках 1, планета будет на бесконечно далёкой небесной сфере в точке 1. Ко второму моменту планета передвинется среди звёзд влево, т. е. к востоку. Но так как Земля движется быстрее планеты, то в следующие моменты планета начнёт замедлять своё видимое движение до момента 3, где она остановится. Далее она меняет движение на попятное. В четвёртый момент наступает противостояние планеты. Земля обгоняет её по орбите, а на небесной сфере планета будет двигаться с востока на запад, т. е. попятно, вплоть до момента 5. В моменты 6 и 7 планета обгоняет Землю, и мы будем наблюдать прямое движение планеты по небесной сфере с запада на восток. Таким образом, планета опишет на звёздном небе путь 1—2—3—4—5 в форме петли. Внешняя планета подходит ближе всего к Земле во время противостояния, когда она находится на небе в точке, противоположной Солнцу. Следовательно, в это время Солнце, Земля и планета находятся на одной прямой. Как видно из рисунка б , вблизи точки противостояния планета совершает обратное (попятное) движение.

Во время противостояния планета видна всю ночь, достигая максимальной высоты над горизонтом в полночь. Когда планета проходит за Солнцем (и, следовательно, не видна), то говорят, что она находится в соединении с Солнцем. В это время происходит её самое быстрое прямое движение, так как Земля и планета движутся навстречу друг другу. К внутренним (или нижним) планетам относятся Меркурий и Венера, их орбиты расположены ближе к Солнцу, чем Земля. По этой причине Венера бывает видна только как утренняя или вечерняя звезда: утром она может быть видна на рассвете на востоке в лучах утренней зари, а вечером на западе в лучах вечерней зари. При этом она никогда не отходит от Солнца дальше чем на 48°. На рисунке в показано, как Земля и планета движутся в одну сторону. Планета движется быстрее Земли. В первый момент планета находится на одной линии с Землёй за Солнцем и с Земли не видна; это положение называется верхним соединением планеты с Солнцем. После этого она появляется из-за Солнца и с каждым днём отходит от него всё дальше влево, т. е. к востоку. В это время она видна по вечерам. Достигнув наибольшего восточного удаления (угол между Солнцем, планетой и Землёй равен 90°), она начинает опять приближаться к Солнцу, проходит между Солнцем и Землёй положение так называемого нижнего соединения и появляется по другую сторону Солнца, к западу от него, в виде утренней звезды. После наибольшего западного удаления, когда угол между Солнцем, планетой и Землёй равен 90°, она опять приближается к Солнцу и, наконец, скрывается за ним; затем всё повторяется в том же порядке. По повторяющимся на небе положениям планет относительно Солнца Коперник вычислил расстояния от планет до Солнца, приняв за единицу измерения среднее расстояние от Земли до Солнца — 1 астрономическую единицу (1 а. е. = 149,6 млн км): Меркурий — 0,4; Венера — 0,7; Земля — 1; Марс — 1,5; Юпитер — 5; Сатурн — 10.

ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЙ ГОДИЧНЫЙ ПАРАЛЛАКС Земля обращается вокруг Солнца, поэтому нам кажется, что близкие звёзды периодически смещаются на фоне далёких звёзд. Наибольшее в течение года отклонение звезды от её среднего положения называют гелиоцентрическим годичным параллаксом звезды. На рисунке г видно, что гелиоцентрический годичный параллакс — это угол π, под которым со звезды, удалённой на расстояние r, виден радиус a0 земной орбиты:

Гелиоцентрический параллакс определяют путём измерения из двух положений Земли на её орбите параллактического смещения звезды на небесной сфере. Ясно, что, если бы Земля стояла на месте, а Солнце обращалось вокруг неё, как в геоцентрической системе мира, такого параллактического смещения звёзд не было бы. Самая близкая к нам звезда αЦентавра (это тройная звезда ближайшая в ней — Проксима Центавра) имеет параллакс π = 0,75′′. Зная годичный параллакс звезды, можно найти расстояние до неё.

Расстояние до звезды:

где a0 = 1 а. е. = 149,6 млн км — среднее расстояние от Земли до Солнца. Учитывая, что при малых углах и радианной мере измерения углов sinπрад ≈ πрад и что 1 рад = 206265′′, имеем r = 206 265 ·a0/π′′. Здесь угол π′′ выражен в секундах дуги. В астрономии за единицу расстояний до звёзд принята величина 1 парсек = 1 пк = 206265 ·a0 = 3 · 1016 м = = 3,26 св. г. Тогда

Подставляя в эту формулу параллакс звезды α Центавра, имеем rпк = 1/π′′ = 1/0,75 = 1,4 пк, так что свет от αЦентавра до Земли идёт 4,3 года.

ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. Изучая движение планеты Марс по наблюдениям Тихо Браге и используя расчёты Коперника, Кеплер сначала изобразил орбиты Земли и Марса окружностями с радиусами 1 и 1,52 а. е. Чтобы объяснить неравномерное движение Солнца по эклиптике, Кеплер сместил его из центра земной орбиты на 1/59 (0,017) его радиуса. Но многочисленные попытки изобразить орбиту Марса окружностью с центром в Солнце или вне его окончились неудачей: вычисленные положения планеты на небе не совпадали с наблюдаемыми. Тогда Кеплер отверг многовековое убеждение в круговом равномерном движении планет и стал подбирать для Марса более подходящую форму орбиты. Лучше других подошёл эллипс с Солнцем в одном из фокусов и эксцентриситетом e = 0,091.

Следовательно, принятое Кеплером положение Солнца вне центра круговой орбиты Земли означало, что Земля тоже движется по эллиптической орбите с небольшим эксцентриситетом e = 0,017 и её движение, как и движение Марса, неравномерно.

ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА. В 1616 г. Кеплер сформулировал свой первый закон: орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Следовательно, орбиты всех планет Солнечной системы имеют один общий фокус, расположенный в центре Солнца. На рисунке д изображена орбита планеты М в виде эллипса с Солнцем в одном из фокусов F1 . Центр эллипса находится в точке О, большая ось АП = 2a, полуось АО = = ОП = a.

Ближайшую к Солнцу точку П орбиты называют перигелием, а наиболее удалённую точку А — афелием. При движении планеты М вокруг Солнца её гелиоцентрическое расстояние (расстояние от Солнца) равно модулю радиус-вектора: r = F1M. Перигельное расстояние q = a(1 – e), афельное расстояние Q = a(1 + e). Первому закону Кеплера подчиняются также движения комет и астероидов. В дальнейшем И. Ньютон, используя открытый им закон всемирного тяготения, дал более общую формулировку рассматриваемого нами закона.

ПЕРВЫЙ ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА. Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — кругу, эллипсу, параболе или гиперболе. Эксцентриситеты для окружностей е = 0, для эллипсов 0 < e < 1, для парабол e = 1, для гипербол e > 1. Эллипсы планетных орбит мало отличаются от окружностей. В Солнечной системе наибольший эксцентриситет имеет орбита Меркурия e = 0,2056, эксцентриситет орбиты Земли e = 0,0167. Знаменитая комета Галлея имеет эксцентриситет орбиты e = 0,967, в перигелии она подходит к Солнцу на расстояние 0,587 а. е., а в афелии удаляется от Солнца на расстояние 35,3 а. е. — за орбиту Нептуна.
Движение естественных и искусственных спутников вокруг планет, движение одной звезды вокруг другой в двойной системе также подчиняются этому закону Кеплера.

ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА (ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ). Радиусвектор каждой планеты описывает за равное время равные площади. Предположим, планета, двигаясь по эллиптической орбите (рисунок е) с центром притяжения в точке S, находится вблизи перигелия Р, за один месяц она проходит дугу PA, за это время радиус-вектор описывает площадь PSA. Вблизи афелия, на большом расстоянии от точки S, радиус-вектор за месяц опишет площадь DSE. Так как эти площади равны, то дуга DE, которую пройдёт планета за такое же время, будет меньше дуги PA. Таким образом, второй закон Кеплера определяет изменение скорости планеты при её движении по орбите: скорость тем больше, чем планета ближе к Солнцу, т. е. в перигелии больше, чем в афелии. Два первых закона Кеплера решают задачу движения каждой планеты в отдельности. Естественно, у Кеплера возникла мысль о существовании закономерности, связывающей все планеты в стройную единую планетную систему. Только в 1618 г. он нашёл такую закономерность, известную под названием третьего закона Кеплера.

ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Если у одной планеты период обращения вокруг Солнца равен Т1 и большая полуось, равная среднему гелиоцентрическому расстоянию, равна a1 , а у другой планеты аналогичные величины соответственно равны T2 и a2 , то выполняется соотношение

Отсюда следует, что

Постоянная C является постоянной для всех тел планетной системы, её численное значение зависит от принятых единиц измерений.
Так, если выражать периоды Т в земных годах, а длину a в астрономических единицах (а. е.), то для Земли Т = 1, a = 1 и, следовательно, для любой планеты Солнечной системы

В выражение третьего закона Кеплера не входят значения эксцентриситетов орбит. Поэтому, какую бы вытянутость эллиптические орбиты ни имели, при равных больших полуосях орбит периоды обращения по ним одинаковы.

ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ Форма орбиты искусственных небесных тел определяется значением и направлением скорости, которое мы сообщаем спутнику. Если скорость второго тела меньше первой космической скорости V1, то оно пролетит некоторое расстояние и затем упадёт на первое тело. Если скорость равна V1 , то оно станет спутником и будет вращаться вокруг другого по окружности. По этой причине V1 называют круговой скоростью. Если скорость тела равна V2 (вторая космическая, или параболическая), то оно будет двигаться по параболе и покинет сферу притяжения первого тела. При меньшей скорости оно будет двигаться по эллиптической орбите, при большей — по гиперболической орбите. Для того чтобы тело не упало на Землю, а стало искусственным спутником Земли, т. е. двигалось вокруг Земли по круговой орбите и не высоко над Землёй, ему нужно сообщить первую космическую (круговую) скорость V1.
Впервые на такую возможность указал И. Ньютон. Он показал, что

Для Земли имеем

Именно такая скорость была сообщена космическому аппарату «Восток-1», на котором Ю. А. Гагарин совершил свой полёт вокруг Земли 12 апреля 1961 г. — первый полёт человека в космическом пространстве. Легко рассчитать время, за которое он совершил облёт Земли. Так как высота орбиты над Землёй была около 100 км, что намного меньше радиуса Земли, то можно для простоты принять, что он двигался у её поверхности. Итак, время полета без учёта времени подъёма и спуска равно

т.е. около полутора часов.

ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ. Чтобы покинуть Землю и лететь к другим планетам, необходимо, как минимум, сообщить ракете вторую (параболическую) скорость. Вторая космическая скорость равна

Для Земли V2 = 11 км/с.

РАСЧЁТ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ ПОЛЁТОВ. Запуск первого искусственного спутника Земли 4 октября 1957 г. положил начало эпохе освоения космического пространства. Полёты к другим небесным телам стали возможны благодаря усилиям многих учёных и конструкторов. Впервые доказал техническую возможность осуществления межпланетных полетов К. Э. Циолковский. Выдающийся вклад в разработку ракетной техники в нашей стране был сделан С. П. Королёвым. Как только космический аппарат (КА) выключает свои реактивные двигатели, он начинает движение по законам небесной механики, т. е. по законам движения планет, их спутников, комет, астероидов и других небесных тел. Чтобы КА, запущенный с Земли, попал на исследуемую планету, необходимо заранее с высокой точностью знать траекторию его движения и условия, необходимые для вывода аппарата на эту траекторию. Эти условия диктуют требования к ракетным двигателям. Например, при скорости запуска ракет к Луне с Земли, равной 10 923 м/с, ошибка в скорости ±2 м/с (т. е. относительная ошибка 0,02%) приведёт к тому, что ракета пройдёт мимо Луны. А что говорить о полётах к более далёким планетам?
Расчёт реальной траектории КА к планете очень сложен. Действительно, в начале полёта аппарат движется в поле тяготения Земли, затем боль´ шую часть своего пути — в поле тяготения Солнца, и в конце пути — в поле исследуемой планеты. Помимо этого, необходимо учитывать гравитационное воздействие со стороны крупных небесных тел. Обычно для предварительной оценки ограничиваются расчётом простейшей орбиты в поле тяготения Солнца. Наиболее оптимальной (с точки зрения затрат энергии) является полуэллиптическая орбита движения КА, касающаяся своими вершинами орбит Земли и планеты. В соответствии с первым законом Кеплера Солнце находится в одном из фокусов этой орбиты, большая ось которой проходит через Солнце и Землю.
Рассчитаем параметры орбиты и требования к КА при полёте к внешним планетам — Марсу, Юпитеру и др. Полученный результат затем легко обобщить для полётов к внутренним планетам — Венере и Меркурию. При запуске к любой внешней планете перигелий (П) орбиты КА совпадает с Землёй и отстоит от Солнца (С) на расстояние q = a0 = 1а. е. = 150 млн км. Афелий (А) находится на пересечении большой оси орбиты КА с орбитой планеты и удалён от Солнца на расстояние Q = a1 (а. е.). В день сближения с КА планета должна подойти к афелию. Сам запуск производится в сторону движения Земли, с тем чтобы использовать её орбитальную (гелиоцентрическую) скорость v0 = 30 км/с. Во время полёта в гравитационном поле Солнца космический аппарат подчиняется законам движения планет — законам Кеплера. Большая полуось его орбиты, выраженная в астрономических единицах, равна

Согласно третьему закону Кеплера для всех планет Солнечной системы имеет место соотношение a 3/T2 = 1, если a выражено в а. е., а период обращения планеты T выражен в годах. Отсюда измеренная в годах продолжительность полёта КА (равная половине периода обращения по орбите)

Старт КА к планете происходит в определённую конфигурацию планеты, когда разница долгот — угол между направлением н ца на планету — станет равной

где ω — угловая скорость движения п бите. Так, для полёта к Марсу получим

Оптимальное время полёта к Марсу - 255 суток. Угловая скорость Марса по орбите ω = 0,524°/сутки, поэтому в момент ста та t разница гелиоцентрических дол гот равна 180° – 0,524°/сут · 255 сут = 43°. Интересно, что такие конфигурации Марса повторяются примерно через 2 года и 2 месяца.